Fungsi gelombang dan Schrödinger

Yang akan kamu pelajari

• Fungsi gelombang
• Persamaan Schrödinger
• Penerowongan kuantum
• Mekanika kuantum

Pahami konsepnya

Persamaan iℏ∂ψ/∂t=Ĥψ mengatur evolusi unitary sistem tertutup. Dalam satu dimensi nonrelativistik, Ĥ=−ℏ²/(2m)∂²/∂x²+V(x). Normalisasi ∫|ψ|²dx=1 memastikan peluang total satu; peluang interval adalah integral densitas, bukan nilai ψ begitu saja.

State stasioner ψ_n(x,t)=φ_n(x)e^(−iE_nt/ℏ) memiliki densitas tidak berubah. Superposisi state energi berbeda dapat menghasilkan densitas berubah.

Analisis lanjut

Kotak tak hingga 0<x<L dengan φ(0)=φ(L)=0 memberi φ_n=√(2/L)sin(nπx/L), E_n=n²π²ℏ²/(2mL²), n≥1. Pada penghalang hingga dengan E<V, solusi menurun eksponensial di daerah terlarang klasik, dengan κ=√[2m(V−E)]/ℏ; pencocokan batas memberi transmisi tidak nol. Tunneling tidak berarti energi kekal dilanggar atau partikel meminjam energi.

Persamaan sederhana ini mengabaikan relativitas dan interaksi banyak partikel yang tidak dimodelkan.

Pendalaman: Mengapa energi kotak diskret?

Di dalam kotak V=0, persamaan stasioner memberi φ″+k²φ=0, sehingga φ=A sin(kx)+B cos(kx). Batas φ(0)=0 membuat B=0. Batas φ(L)=0 memerlukan sin(kL)=0, maka kL=nπ. n=0 menghasilkan fungsi nol yang tidak dapat dinormalisasi; ambil n≥1.

E=ℏ²k²/(2m) memberi spektrum diskret. Normalisasi ∫₀ᴸsin²(nπx/L)dx=L/2 menetapkan A=√(2/L). Tugas: bandingkan dinding hingga, ketika ψ menembus keluar dan batas tidak lagi ψ=0 pada tepi.

Contoh terurai

Jika panjang kotak digandakan, semua energi E_n menjadi seperempat. Untuk n=1, densitas maksimum di x=L/2 dan nol di dinding. Untuk n=2 terdapat simpul tambahan di tengah; energi empat kali E₁, bukan dua kali.

Coba, amati, jelaskan

Sketsakan φ₁, φ₂ dan kuadratnya. Tandai perbedaan tanda amplitudo yang hilang pada densitas. Integralkan |φ₁|² untuk memeriksa normalisasi dan bandingkan dengan dossier persamaan Schrödinger.

Cek pemahaman

Panjang kotak menjadi dua kali. Energi dasar menjadi?

• Dua kali
• Seperempat
• Setengah

Jawab dan baca pembahasannya di aplikasi.