Aksi, Lagrangian, dan simetri

Yang akan kamu pelajari

• Mekanika analitik
• Fisika matematis

Pahami konsepnya

Untuk sistem konservatif sederhana, L=T−V dan aksi S=∫L dt. Lintasan fisik membuat variasi pertama aksi nol dengan titik ujung tetap; ini bukan selalu minimum mutlak. Persamaan Euler–Lagrange: d/dt(∂L/∂q̇ᵢ)−∂L/∂qᵢ=0.

Koordinat umum q bisa sudut bandul, bukan hanya x,y,z. Momentum kanonik pᵢ=∂L/∂q̇ᵢ. Koordinat yang tidak muncul eksplisit dalam L memiliki momentum kanonik kekal.

Analisis lanjut

Integrasi parsial δS memisahkan suku batas yang nol karena δq pada ujung nol; koefisien δq yang arbitrer menghasilkan Euler–Lagrange. Hamiltonian H=Σpᵢq̇ᵢ−L memberi persamaan Hamilton bila transformasi Legendre reguler. Simetri kontinu berkaitan dengan muatan kekal melalui Noether; translasi waktu memberi energi dengan syarat yang sesuai.

Hamiltonian tidak otomatis sama energi mekanik untuk semua koordinat bergantung waktu.

Pendalaman: Variasi aksi dan suku batas

Tuliskan variasi lintasan q→q+εδq dengan δq(t₁)=δq(t₂)=0. Turunan aksi terhadap ε pada ε=0 memberi δS=∫[(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q̇)δq̇]dt. Integrasi parsial suku kedua menghasilkan [pδq]t₁t₂−∫(dp/dt)δq dt.

Suku batas nol. Karena δq di interior arbitrer, ∂L/∂q−dp/dt=0. Untuk koordinat siklik, ∂L/∂q=0 sehingga p kekal.

Jika kendala nonholonomik atau gaya disipatif hadir, formulasi sederhana ini perlu perluasan; menambah gaya gesek ke V tidak selalu sah.

Contoh terurai

Osilator: L=m ẋ²/2−kx²/2. Turunan ∂L/∂ẋ=m ẋ dan ∂L/∂x=−kx memberi m ẍ+kx=0. Bandul: L=mℓ²θ̇²/2−mgℓ(1−cosθ), sehingga θ̈+(g/ℓ)sinθ=0; sudut kecil memberi osilator harmonik.

Coba, amati, jelaskan

Turunkan persamaan bandul tanpa mengganti sinθ dengan θ terlebih dahulu. Sesudah itu identifikasi langkah yang memasukkan pendekatan sudut kecil dan rentang gunanya.

Buka percobaan terkait di laboratorium

Cek pemahaman

Jika L tidak bergantung eksplisit pada q, apa yang kekal?

• Momentum kanonik yang berpasangan dengan q
• Semua kecepatan selalu nol
• q selalu konstan

Jawab dan baca pembahasannya di aplikasi.